Modelo M/M/1

¿Qué es el modelo M/M/1?

El modelo M/M/1 representa un sistema de colas con un solo servidor, llegadas de Poisson y tiempos de servicio con distribución exponencial.

Es uno de los modelos más utilizados para analizar tiempos de espera y rendimiento en sistemas de atención.

Características

  • Llegadas: Proceso de Poisson.
  • Servicio: Distribución exponencial.
  • Un solo servidor.
  • Población infinita.
  • Capacidad infinita.
  • Disciplina FIFO.

¿Cuándo se utiliza?

  • Cajeros automáticos.
  • Ventanillas bancarias.
  • Consultorios.
  • Peajes.
  • Centros de atención.

Parámetros

ParámetroDescripción
λTasa de llegada
μTasa de servicio
ρFactor de utilización

Calculadora







Fórmulas del Modelo M/M/1

Factor de utilización

ρ=λμ\rho=\frac{\lambda}{\mu}

Representa la utilización del servidor.

Probabilidad del sistema vacío

P0=1−ρP_0=1-\rho

Probabilidad de que no exista ningún cliente en el sistema.

Número promedio en cola

Lq=ρ21−ρL_q=\frac{\rho^2}{1-\rho}

Cantidad promedio de clientes esperando.

Número promedio en el sistema

L=ρ1−ρL=\frac{\rho}{1-\rho}

Cantidad promedio de clientes dentro del sistema.

Tiempo promedio en cola

Wq=LqλW_q=\frac{L_q}{\lambda}

Tiempo promedio que espera un cliente.

Tiempo promedio en el sistema

W=LλW=\frac{L}{\lambda}

Tiempo promedio total de permanencia.

Ejemplo Resuelto

Supongamos λ = 4 clientes/hora y μ = 5 clientes/hora.

  1. Calcular el factor de utilización. ρ = λ/μ = 4/5 = 0.8
  2. Calcular la probabilidad de sistema vacío. P₀ = 1 - ρ = 1 - 0.8 = 0.2
  3. Calcular el número promedio de clientes en el sistema. L = ρ/(1-ρ) = 0.8/0.2 = 4
  4. Calcular el número promedio de clientes en cola. Lq = ρ²/(1-ρ) = 0.64/0.2 = 3.2
  5. Calcular el tiempo promedio en el sistema. W = L/λ = 4/4 = 1 hora
  6. Calcular el tiempo promedio en cola. Wq = Lq/λ = 3.2/4 = 0.8 horas