Modelo M/M/1/C

¿Qué es el modelo M/M/1/C?

El modelo M/M/1/C es un modelo de teoría de colas que considera un único servidor y una población finita de clientes. A diferencia del modelo M/M/1 clásico, el número de clientes que pueden solicitar el servicio está limitado, por lo que la tasa de llegada depende de la cantidad de clientes que aún se encuentran fuera del sistema.

Este modelo permite analizar sistemas donde existe una cantidad fija de usuarios que compiten por un mismo recurso, siendo ampliamente utilizado para evaluar el desempeño de sistemas de producción, mantenimiento, informática y telecomunicaciones.

Características

  • Llegadas: Proceso de Poisson.
  • Servicio: Distribución exponencial.
  • Un solo servidor.
  • Población finita (C clientes).
  • Capacidad máxima igual al tamaño de la población.
  • Disciplina de atención FIFO.

¿Cuándo se utiliza?

  • Mantenimiento de un conjunto limitado de máquinas.
  • Reparación de equipos en una empresa.
  • Redes de computadoras con un número fijo de terminales.
  • Sistemas de producción con recursos limitados.
  • Modelos de soporte técnico con una cantidad fija de usuarios.

Calculadora









Fórmulas del Modelo M/M/1/C

Probabilidad de sistema vacío

P0=1∑n=0mm!(m−n)!(λμ)nP_0=\frac{1}{\sum_{n=0}^{m}\frac{m!}{(m-n)!}\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^n}

Probabilidad de que el sistema se encuentre completamente vacío.

Probabilidad de tener n unidades en el sistema

Pn=m!(m−n)!(λμ)nP0P_n=\frac{m!}{(m-n)!}\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^nP_0

Probabilidad de que existan exactamente n clientes en el sistema.

Número promedio de unidades en el sistema

L=m−μλ(1−P0)L=m-\frac{\mu}{\lambda}(1-P_0)

Cantidad promedio de clientes presentes en el sistema.

Número promedio de clientes en la cola

Lq=L−(1−P0)L_q=L-(1-P_0)

Cantidad promedio de clientes esperando para ser atendidos.

Número promedio de unidades en servicio

Ls=L−LqL_s=L-L_q

Cantidad promedio de clientes que están siendo atendidos.

Tiempo medio de permanencia en el sistema

W=Lλ(m−L)W=\frac{L}{\lambda(m-L)}

Tiempo promedio que un cliente permanece dentro del sistema.

Tiempo medio de permanencia en la cola

Wq=Lqλ(m−L)W_q=\frac{L_q}{\lambda(m-L)}

Tiempo promedio que un cliente espera antes de recibir servicio.

Tiempo medio de permanencia en servicio

Ws=W−WqW_s=W-W_q

Tiempo promedio que un cliente permanece siendo atendido.

Ejemplo Resuelto

Supongamos una población finita de m = 5 clientes, una tasa de llegada λ = 2 clientes/hora y una tasa de servicio μ = 3 clientes/hora.

  1. Calcular λ/μ. λ/μ = 2/3 = 0.6667
  2. Calcular P₀. P₀ = 1 / [1 + 5(0.6667) + 20(0.6667²) + 60(0.6667³) + 120(0.6667⁴) + 120(0.6667⁵)] = 1 / 45.123 ≈ 0.0222
  3. Calcular L. L = m - (μ/λ)(1 - P₀) = 5 - (3/2)(1 - 0.0222) = 5 - 1.4667 = 3.5333
  4. Calcular Lq. Lq = L - (1 - P₀) = 3.5333 - 0.9778 = 2.5555
  5. Calcular Ls. Ls = L - Lq = 3.5333 - 2.5555 = 0.9778
  6. Calcular W. W = L / [λ(m - L)] = 3.5333 / [2(5 - 3.5333)] = 3.5333 / 2.9334 = 1.2045 horas
  7. Calcular Wq. Wq = Lq / [λ(m - L)] = 2.5555 / 2.9334 = 0.8711 horas
  8. Calcular Ws. Ws = W - Wq = 1.2045 - 0.8711 = 0.3334 horas