Modelo M/M/1/K

¿Qué es el modelo M/M/1/K?

El modelo M/M/1/K es una extensión del modelo M/M/1 de teoría de colas, donde existe un único servidor y una capacidad máxima de clientes en el sistema. Esto significa que solo pueden permanecer hasta K clientes entre los que están siendo atendidos y los que esperan en la cola.

Cuando el sistema alcanza su capacidad máxima, los nuevos clientes que intentan ingresar son rechazados o perdidos, lo que provoca una reducción en la tasa efectiva de llegadas. Este modelo permite analizar el impacto de las limitaciones de capacidad sobre el rendimiento del sistema.

Características

  • Llegadas según un proceso de Poisson.
  • Tiempos de servicio con distribución exponencial.
  • Un único servidor.
  • Capacidad máxima del sistema igual a K clientes.
  • Cuando el sistema está lleno, las nuevas llegadas son rechazadas.
  • Disciplina de atención FIFO (primero en entrar, primero en salir).
  • Permite calcular la probabilidad de pérdida de clientes.

¿Cuándo se utiliza?

  • Sistemas de atención con una sala de espera limitada.
  • Estacionamientos con un número fijo de plazas.
  • Centros de llamadas con capacidad máxima de espera.
  • Buffers en redes de computadoras con memoria limitada.
  • Procesos industriales donde solo puede almacenarse una cantidad máxima de productos.
  • Sistemas de producción con capacidad restringida.

Calculadora









Fórmulas del Modelo M/M/1/K

Factor de utilización

ρ=λμ\rho=\frac{\lambda}{\mu}

Representa el grado de utilización del servidor.

Probabilidad de que el sistema esté vacío

P0=1−ρ1−ρK+1P_0=\frac{1-\rho}{1-\rho^{K+1}}

Probabilidad de que no existan clientes en el sistema.

Probabilidad de tener n clientes en el sistema

Pn=ρnP0P_n=\rho^nP_0

Probabilidad de que existan exactamente n clientes en el sistema.

Probabilidad de sistema lleno

PK=ρKP0P_K=\rho^KP_0

Probabilidad de que el sistema alcance su capacidad máxima.

Tasa efectiva de llegada

λˉ=λ(1−PK)\bar{\lambda}=\lambda(1-P_K)

Tasa promedio de clientes que realmente ingresan al sistema.

Número promedio de clientes en el sistema

L=λˉWL=\bar{\lambda}W

Cantidad promedio de clientes presentes en el sistema.

Número promedio de clientes en la cola

Lq=L−(1−P0)L_q=L-(1-P_0)

Cantidad promedio de clientes esperando atención.

Tiempo promedio en el sistema

W=Wq+1μW=W_q+\frac{1}{\mu}

Tiempo promedio que un cliente permanece en el sistema.

Tiempo promedio en la cola

Wq=LqλˉW_q=\frac{L_q}{\bar{\lambda}}

Tiempo promedio que un cliente espera antes de ser atendido.

Tasa promedio de pérdida

λ−λˉ\lambda-\bar{\lambda}

Número promedio de clientes que no ingresan al sistema por estar lleno.

Ejemplo Resuelto

Supongamos una tasa de llegada λ = 4 clientes/hora, una tasa de servicio μ = 5 clientes/hora y una capacidad máxima K = 5 clientes.

  1. Calcular el factor de utilización. ρ = λ/μ = 4/5 = 0.8
  2. Calcular la probabilidad de que el sistema esté vacío. P₀ = (1 - ρ)/(1 - ρ^(K+1)) = (1 - 0.8)/(1 - 0.8⁶) = 0.2/0.737856 = 0.2711
  3. Calcular la probabilidad de que el sistema esté lleno. Pk = ρᴷ · P₀ = 0.8⁵ × 0.2711 = 0.32768 × 0.2711 = 0.0888
  4. Calcular la tasa efectiva de llegada. λ̄ = λ(1 - Pk) = 4(1 - 0.0888) = 4 × 0.9112 = 3.6448 clientes/hora
  5. Calcular el número promedio de clientes en el sistema. L = λ̄ · W (una vez calculado W).
  6. Calcular el tiempo promedio en el sistema. W = Wq + 1/μ
  7. Calcular el tiempo promedio en la cola. Wq = Lq/λ̄
  8. Calcular la tasa promedio de pérdida. λ - λ̄ = 4 - 3.6448 = 0.3552 clientes/hora