Modelo M/M/S/K

¿Qué es el modelo M/M/S/K?

El modelo M/M/S/K es una extensión del modelo M/M/S que considera múltiples servidores y una capacidad máxima limitada del sistema. Esto significa que solo pueden permanecer hasta K clientes entre los que están siendo atendidos y los que esperan en la cola.

Cuando el sistema alcanza su capacidad máxima, las nuevas llegadas no pueden ingresar y se consideran clientes perdidos o rechazados. Este modelo permite analizar el efecto de la capacidad limitada sobre el rendimiento del sistema y calcular indicadores como la probabilidad de bloqueo, la tasa efectiva de llegada y el tiempo promedio de espera.

Características

  • Llegadas según un proceso de Poisson.
  • Tiempos de servicio con distribución exponencial.
  • Múltiples servidores trabajando en paralelo.
  • Capacidad máxima del sistema igual a K clientes.
  • Cuando el sistema está lleno, las nuevas llegadas son rechazadas.
  • Existe una tasa efectiva de llegada menor que la tasa de llegada original.
  • Permite calcular la probabilidad de pérdida de clientes.
  • Disciplina de atención FIFO (primero en entrar, primero en salir).

¿Cuándo se utiliza?

  • Centros de llamadas con un número limitado de posiciones de espera.
  • Hospitales con varias salas de atención y capacidad restringida.
  • Supermercados con múltiples cajas y espacio limitado para formar filas.
  • Sistemas informáticos con varios servidores y buffers de capacidad finita.
  • Estacionamientos con varios accesos y un número máximo de vehículos.
  • Procesos industriales con varias estaciones de servicio y almacenamiento limitado.
  • Sistemas de telecomunicaciones donde las solicitudes adicionales son bloqueadas cuando se alcanza la capacidad máxima.

Calculadora











Fórmulas del Modelo M/M/S/K

Factor de utilización

ρ=λsμ\rho=\frac{\lambda}{s\mu}

Representa el grado de utilización del sistema con múltiples servidores.

Probabilidad de que el sistema esté vacío (ρ ≠ 1)

P0=1ssρs+1(1−ρk−s)s!(1−ρ)+∑n=0s(sρ)nn!P_0=\frac{1}{\frac{s^s\rho^{s+1}(1-\rho^{k-s})}{s!(1-\rho)}+\sum_{n=0}^{s}\frac{(s\rho)^n}{n!}}

Probabilidad de que no existan clientes en el sistema cuando ρ es diferente de 1.

Probabilidad de que el sistema esté vacío (ρ = 1)

P0=1sss!(k−s)+∑n=0ssnn!P_0=\frac{1}{\frac{s^s}{s!}(k-s)+\sum_{n=0}^{s}\frac{s^n}{n!}}

Caso especial cuando el factor de utilización es igual a 1.

Probabilidad de tener n unidades en el sistema (1 ≤ n ≤ s)

Pn=(sρ)nn!P0P_n=\frac{(s\rho)^n}{n!}P_0

Probabilidad de que existan n clientes mientras aún hay servidores disponibles.

Probabilidad de tener n unidades en el sistema (s < n ≤ k)

Pn=ssρns!P0P_n=\frac{s^s\rho^n}{s!}P_0

Probabilidad de que existan n clientes cuando todos los servidores están ocupados.

Número promedio de clientes en la cola

Lq=ssρs+1s!(1−ρ)2[1−ρk−s−(1−ρ)(k−s)ρk−s]P0L_q=\frac{s^s\rho^{s+1}}{s!(1-\rho)^2}\left[1-\rho^{k-s}-(1-\rho)(k-s)\rho^{k-s}\right]P_0

Cantidad promedio de clientes esperando para ser atendidos.

Tasa media de filtraje

λˉ=λ(1−Pk)\bar{\lambda}=\lambda(1-P_k)

Tasa efectiva de llegada de clientes al sistema.

Tasa promedio de pérdida

λ−λˉ\lambda-\bar{\lambda}

Cantidad promedio de clientes que no ingresan al sistema porque está lleno.

Número promedio de unidades en el sistema

L=λˉWL=\bar{\lambda}W

Número promedio de clientes presentes en el sistema.

Tiempo medio de permanencia en el sistema

W=Wq+1μW=W_q+\frac{1}{\mu}

Tiempo promedio que un cliente permanece dentro del sistema.

Tiempo medio de permanencia en la cola

Wq=LqλˉW_q=\frac{L_q}{\bar{\lambda}}

Tiempo promedio que un cliente espera antes de ser atendido.

Ejemplo Resuelto

Supongamos λ = 8 clientes/hora, μ = 5 clientes/hora, s = 2 servidores y una capacidad máxima K = 6 clientes.

  1. Calcular el factor de utilización. ρ = λ/(sμ) = 8/(2×5) = 0.8
  2. Calcular la probabilidad de sistema vacío. Se sustituye ρ = 0.8, s = 2 y K = 6 en la expresión de P₀ obteniendo P₀ ≈ 0.1008.
  3. Calcular la probabilidad de tener n clientes en el sistema. Para n ≤ s se usa la primera expresión y para n > s la segunda expresión de Pₙ.
  4. Calcular el número promedio de clientes en cola. Sustituyendo los valores en la fórmula se obtiene Lq ≈ 1.48 clientes.
  5. Calcular la probabilidad de sistema lleno. Pk = s^sρ^K/s! × P₀ = 4×0.8⁶/2 × 0.1008 ≈ 0.0528.
  6. Calcular la tasa efectiva de llegada. λ̄ = λ(1 - Pk) = 8(1 - 0.0528) = 7.5776 clientes/hora.
  7. Calcular la tasa promedio de pérdida. λ - λ̄ = 8 - 7.5776 = 0.4224 clientes/hora.
  8. Calcular el tiempo promedio en cola. Wq = Lq/λ̄ = 1.48/7.5776 = 0.195 horas.
  9. Calcular el tiempo promedio en el sistema. W = Wq + 1/μ = 0.195 + 0.2 = 0.395 horas.
  10. Calcular el número promedio de clientes en el sistema. L = λ̄W = 7.5776 × 0.395 = 2.99 clientes.